Erros lógicos

Após resolver um exercício, provar que a raiz quadrada de um número primo é irracional, fui procurar a resposta na rede e encontrei várias  erradas num mesmo tópico, isso me lembrou daquele velho ditado: “A internet recebe informação de muitas fontes, e muitas estão erradas”.

Bem, vou explicar o problema e comentar os erros.

Números irracionais são os numeros reais que nao podem ser representados por uma fração, por exemplo: Pi,e raizes de números primos.

Números primos são os números inteiros, diferentes de 1, que tem como divisores somente  1 e ele mesmo, por exemplo o 2.

RESPOSTA 1:

“é simples
para que um numero seja considerado primo ele só é divisivel por ele mesmo e por um, ou seja, se o numero é primo sua raiz é irracional.
OBS; exeto para o número 1 que é primo e sua raiz não é irracional.”

Bem simples mesmo, repetiu o problema e ainda errou falando que 1 é primo.

RESPOSTA 2:

“Vamos provar por absurdo.
Se p é um numero primo qualquer prove que a raiz quadrada de p é racional.
Seja p um numero primo e que a raiz quadrada de p é racional.
Supondo que a raiz de p = n, podemos afirmar que p = n².
Logo temos que p = n x n
E como temos que p é um numero primo, logo ele nunca poderia ser escrito fatorado, logo eh absurdo q ele seja racional.
CQD.”

Bem simples essa, mas tem um erro, foi suposto que a raiz de p é igual a um número n, nao falando a qual conjunto numérico este pertence, se for inteiro, consegue-se provar que a raiz de p não é inteira, mas ela pode ser racional ainda assim.

RESPOSTA 3:

“O truque clássico é a seguinte: se p é um número primo, sqrt (p) é irracional.
Na verdade, se tivéssemos p (sqrt) = m / n com m e n inteiros, temos p = m²/n² e, portanto, m² = p.n². Na decomposição em fatores primos, m² tem um número par de elementos, p.n² número um quadrado estranho. Portanto, não pode ser feito …”

Não entendi o que foi falado, mas sei que está errado.

RESPOSTA 4:

“sqtr(p) = a/b definição de numeros racionais , aonde a e b são reais  (Ler:  naturais e primos entre si ( tornando a fração irredutivel)

elevando ao quadrado temos)

p = (a/b)*(a/b)

p=a²/b²

como p é inteiro a² é divisivel por b²
se a² é divisivel por b² então a tem que ser divisivel por b
se a é divisivel por b existe un p’ Tal que a=p’*b

visto isto temos

p=a²/b² = (a/b)*(a/b) = (p’b/b)*(p’b/b) = p’p’

chegamos pois a : p=p’.p’

p=p’.p’ … Ora isto é um aburdo pois p é primo e não pode ser fatorado. ”

Errou ali no comecinho e não concluiu.

A conclusão seria: como raiz de p não é racional, então é irracional.

Espero que não tenha sido pedante na parte matemática, mas muitas vezes ocorre de precisarmos de uma informação de uma área que desconhecemos e nos depararmos com explicações que não são de todo válidas.

Fica como aviso então buscar fontes confiáveis na internet ou, se possível, fora da rede.

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~ por ceccotti em 8 de Agosto de 2010.

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